O que Alain Badiou quer dizer com ‘Matemática = Ontologia’?

Alain Badiou, foto de Basso Cannarsa, via L'Humanité

Dentro um artigo anterior sobre as principais 'regiões' da filosofia contemporânea, escrevi o seguinte: 'Reconhecidamente, pelo menos outro artigo seria necessário para explorar e avaliar as proposições apresentadas por Alain Badiou para substituir a unidade das três regiões por uma quarta.' pretende ser esse artigo necessário para avaliar a contribuição de Badiou para a cena filosófica. Hoje, as principais regiões ou correntes da filosofia compartilham a ideia de que o pensamento deve estar subordinado à linguagem. Badiou, por outro lado, tenta mostrar em sua obra principal que o pensamento pode transgredir a barreira que separa a realidade das estruturas linguísticas que nela projetamos.

Essa oposição se cristaliza no desacordo de Badiou com o principal representante da região hermenêutica, Martin Heidegger . A controvérsia diz respeito ao status do pensamento científico. Pelo relato de Heidegger, que discuto em outro artigo, a ciência não pode pensar . A ambição da ciência de pensar a realidade por trás das aparências transgride os limites do que pode ser pensado. Por sua própria tentativa de pensar, a ciência se torna incapaz de fazê-lo. Badiou, por outro lado, vê a ciência como um dos domínios de nossa cultura onde se produz o verdadeiro pensamento.

Alain Badiou sobre a questão do ser

Capa da edição original de Being and Event em francês, via Éditions du Seuil

Alain Badiou adota a estrutura dentro da qual Martin Heidegger expressa sua condenação da filosofia e da ciência. O filósofo francês acredita que toda filosofia contemporânea deve partir da renovação da questão heideggeriana do Ser. O que está em jogo na obra mais importante de Badiou (seu título Ser e Evento claramente alude ao pensamento de Heidegger magnum opus, Ser e Tempo ) são, para dizer sucintamente, desenvolver outra resposta à questão ontológica.

Além disso, a resposta que Badiou oferece a essa pergunta supõe as distinções ontológicas estabelecidas em Ser e tempo . Ontologia não é o estudo do tipo de coisas que existem, mas do que é ser . A definição de ontologia de Badiou é “a apresentação da apresentação”. É a exploração de como, em geral, as coisas podem ser apresentadas.

Alain Badiou sobre a relação entre ciência e ser

Retrato de Gottfried Leibniz por Christoph Bernhard Francke, 1695, via Wikimedia Commons.

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Badiou e Heidegger diferem quando se trata de abstração científica. Ao longo de sua obra, Heidegger contrasta a riqueza original da experiência com a pobreza de sua descrição científica. Para Badiou, essa pobreza é o próprio sinal da relação essencial das ciências com o Ser. A riqueza que o pensamento científico descarta é o que diz respeito ao ente e não ao Ser.

Este ponto certamente exige uma explicação. No começo de Ser e Evento , Badiou aborda o Ser através da questão do uno e do múltiplo. Segundo o filósofo e polímata alemão Leibniz , a unidade é uma condição necessária para que algo conte como sendo: o que não é uma ser, como ele disse, não é um ser. A ideia é que tudo o que existe deve necessariamente ser algo e assim unificado – um – contra o que não é.

O problema do raciocínio de Leibniz é que ele parece refutado pela experiência, na qual tudo é múltiplo . Uma mesa é uma como aquela mesa , mas é também a coleção de suas múltiplas partes. Se Leibniz estiver certo, então o Ser parece ser algo que não podemos experimentar. Mas como, então, Leibniz sabe que o Ser é um?

A solução de Badiou é seguir a experiência (e Heidegger) e declarar que o Ser deve estar de acordo com a experiência. Invertendo a máxima de Leibniz, ele declara que o que não é múltiplo não é ser. A unidade nada mais é do que um efeito ilusório da multiplicidade essencial do Ser. A unidade é o que permite que algo conte como algo. Multiplicidade é aquilo que é contado como um, o ser ao qual a contagem é aplicada.

O Problema do Uno e do Múltiplo

Assemblage, Deana Lawson, 2021, Museu de Arte Moderna, Nova York

Mas parece que o mesmo problema surge novamente. Suponhamos que o Ser seja essencialmente múltiplo. No entanto, se deve ser experimentado, certamente deve ser experimentado como algo e, portanto, como Leibniz corretamente observa, como um. Mas então o Ser deve ser incognoscível e a hipótese de Badiou – Ser como múltiplo – deve ser tão arbitrária quanto a de Leibniz. Não podemos ter acesso ao múltiplo além do um nem ao um além do múltiplo.

Badiou concorda. Aquilo que se apresenta, seja uno ou múltiplo, não pode ser acessado em sua pureza, um sem o múltiplo ou múltiplo sem o um. O que pode ser acessado é a apresentação, ou seja, o processo em que a multiplicidade essencial do Ser se torna uma multiplicidade. A ontologia não pode ser a apresentação do que está além de qualquer apresentação. Só pode ser a apresentação da apresentação.

Alain Badiou: Uma “Tese Radical” da Ontologia

Arquimedes por Domenico Fetti, 1620, Alte Meister, Dresden, Alemanha, através do Projeto Arquimedes.

Essas considerações sobre o um e o múltiplo não parecem ter muito a ver com a questão da ciência. Mas, na verdade, eles preparam a defesa da ciência de Badiou por meio de seu principal paradigma: a matemática. A “tese radical” de Badiou em Ser e Evento é que a matemática realmente é a ciência do Ser através da Ser. Em outras palavras, matemática = ontologia no sentido de Heidegger.

A chave desta equação é a identificação do Ser e do múltiplo. Intuitivamente, a matemática parece tratar as operações possíveis sobre multiplicidades. De acordo com um entendimento comum, a matemática tem tudo a ver com números e figuras. Ambas as coisas podem ser identificadas como múltiplos. Um número em sua forma mais básica é uma multiplicidade de unidades. Originalmente, em Grécia antiga , o número 1 nem sequer contava como um número. Uma figura é aquilo a que se aplica o conceito de tamanho. E o tamanho também pode geralmente ser medido por um número, revelando assim a multiplicidade essencial da figura.

A Importância da Teoria dos Conjuntos para Alain Badiou

Fotografia de Georg Cantor, ca. 1910, via Wikimedia.

Mas Badiou tem razões mais profundas para igualar matemática e ontologia. Como acabamos de dizer, os números são multiplicidades de unidades. Isso significa que eles ainda não são puramente múltiplos. No final do século 19, um matemático alemão chamado Georg Cantor criou a teoria dos conjuntos. Daquele momento em diante, os matemáticos poderiam tratar o múltiplo sem um.

Por um lado, conjuntos na teoria dos conjuntos nada mais são do que múltiplos. Múltiplos de quê? Por ingénuo teoria dos conjuntos, um conjunto é sempre um múltiplo de alguma coisa, muitas coisas consideradas como uma só. Pode-se falar do conjunto dos números naturais ou do conjunto das mulheres canhotas que vivem em Madagascar, e assim por diante.

Mas para a versão axiomatizada rigorosa da teoria dos conjuntos, o conjunto não é um múltiplo de nada. Se você analisar um determinado conjunto dentro de seu universo teórico, encontrará apenas mais conjuntos. A única exceção é o conjunto vazio que não contém nada. O conceito de conjunto vazio, do qual são feitos todos os outros conjuntos na teoria dos conjuntos, indica que os matemáticos pensam em um conjunto como um múltiplo sem unidade. O conjunto não é um múltiplo de alguma coisa – que assim seria um – mas um múltiplo de nada.

A descoberta de Cantor sobre o infinito

A Nostalgia do Infinito de Giorgio de Chirico, ca. 1911, via MoMA.

Há, no entanto, outra forma de unidade que a teoria dos conjuntos aparentemente não pode escapar. Acabamos de mencionar o universo teórico da teoria dos conjuntos. Não é este universo uma universo e, portanto, um universo? O próprio fato de podermos responder “não” a essa pergunta é o indicador mais claro da influência de Cantor na história da matemática – e talvez no pensamento em geral.

Normalmente, pensa-se que a multiplicação de objetos matemáticos pode continuar indefinidamente. Não existe, por exemplo, nenhum último número natural. Pode-se somar, multiplicar e elevar um número a uma potência indefinidamente sem jamais atingir um limite acima do qual não se possa continuar. Mas, de acordo com uma concepção comum, há um limite para essa acumulação infinita de números, a saber, a própria infinitude: o infinito.

Essa concepção vai bem com a concepção pré-moderna do universo. Acredita-se que sua finitude seja limitada por um infinito Deus , que é incomensurável à sua criação. Que o universo é finito significa que é limitado pelo criador ilimitado. Sua multiplicidade é limitada pelo Uno. Mas a teoria dos conjuntos de Cantor abre novos caminhos para pensar a relação entre o finito e o infinito. Em 1873, ele provou que o conjunto infinito de numeros reais (todos os números que podem ser expressos com uma sequência de decimais) contém 'mais' elementos do que o conjunto infinito de inteiros.

Em 1891, Cantor também provou que a partir de algum conjunto infinito pode-se produzir um “maior”. Seu resultado, hoje denominado Teorema de Cantor , mostra que existem infinitas infinidades diferentes de uma infinidade de diferentes ‘tamanhos’. Por fim, também foi comprovado que não existe um conjunto de todos os conjuntos que reúna todos esses infinitos. Como resultado, não pode haver um limite único fechando o universo teórico dos conjuntos de cima . O múltiplo é puro, sem um, de baixo para cima.

Uma Objeção Final à Reivindicação da Teoria dos Conjuntos para o Puramente Múltiplo

Retrato de Ernst Zermelo, via Wikimedia Commons.

O universo teórico dos conjuntos não é consistente nem feito de nada consistente. Mas ao estudar o puramente múltiplo, a teoria dos conjuntos não o unifica como objeto? O múltiplo em sua pureza não está unificado contra o que não é?

De certa forma, a resposta ainda é “não”. Para contornar algumas dificuldades teóricas, Ernest Zermelo empreendeu a axiomatização da teoria dos conjuntos de Cantor em 1905. Simplificando, ele estabeleceu um conjunto de regras (os axiomas) que ele achava que deveriam delinear as possibilidades dentro da teoria dos conjuntos.

É importante ressaltar que em nenhum momento ele definiu os objetos da teoria. A rigor, os objetos são apenas o que pode servir de suporte para as relações definidas pelas regras. Que conjunto é é apenas um termo escrito à direita do símbolo ‘’, que pode ser lido como ‘pertence a’. O múltiplo, portanto, nunca é explicitamente unificado contra o que não é. Embora a teoria estude o puramente múltiplo e nada mais, ela o faz sem nunca torná-lo um (ou um) objeto.

A relação exata entre a teoria dos conjuntos e a ontologia

Voz do Espaço por René Magritte, 1931, via Fundação Peggy Guggenheim.

Desde que o trabalho de Zermelo e Cantor foi publicado, a teoria dos conjuntos tem sido a linguagem mais popular para falar de qualquer objeto matemático. Parece que quase tudo que foi pensado em matemática pode ser expresso como um conjunto de algum tipo.

Este fato justifica finalmente a equação ‘matemática = ontologia’. Uma vez que qualquer coisa dentro do universo matemático pode ser pensada como um conjunto, e uma vez que a teoria dos conjuntos é essencialmente uma maneira de pensar o múltiplo em sua pureza, então a invenção da teoria dos conjuntos pode ser entendida como nada além do momento histórico em que a matemática se torna consciente de sua vocação para pensar um predicado maior do Ser, o múltiplo.

Partindo do múltiplo como múltiplo, a teoria dos conjuntos – e as teorias matemáticas expressas com a teoria dos conjuntos – apresentam o que acontece quando o puramente múltiplo se torna múltiplo definido. Essas teorias são a apresentação da apresentação.

Alain Badiou x Martin Heidegger

Galileu Antes da Inquisição Romana, Cristiano Banti, 1857, via New Scientist

Ciência e sua quintessência matemática não é o que fez nossa civilização esquecer o Ser. É o que permitiu a nossa civilização superar nossas ilusões. Assim, abriu um caminho para o Ser.

Finalmente, há três razões para preferir o relato da ciência de Badiou ao de Heidegger.

A primeira é que a identificação do Ser, da verdade e da aparência impede a elaboração de uma crítica à nossa cultura. Mas tal crítica é necessária para Heidegger, que prefere um tipo de manifestação do Ser (poesia) em detrimento de outros (ciência e tecnologia). Mas aparências inautênticas, como ciência e tecnologia, parecem ser tanto aparências quanto poesia. Qual é o princípio de Heidegger aqui?

A segunda é que pode haver outras formas de pensar o Ser além daquelas que Heidegger valoriza. Se o relato acima da relação da matemática com a ontologia tem algum apelo, o próprio Heidegger é culpado de contribuir para o esquecimento do Ser.

Alain Badiou e a Tríade de Filosofia, Poesia e Ciência

Alain Badiou, 2011, via Radio France Culture

Uma terceira razão pela qual a explicação da ciência de Heidegger é problemática é que ela impede a continuação da filosofia. Se a poesia é a única maneira de pensar o Ser, a filosofia pode, na melhor das hipóteses, ser seu comentário supérfluo.

Para Badiou, poesia e ciência são dois métodos diferentes, mas igualmente importantes para pensar o Ser. Esse acesso plural ao Ser permite que a filosofia se torne outra coisa que o pálido reflexo de um ou de outro. A filosofia não precisa ser um pensamento menos realizado do Ser, mas um pensamento de outra coisa. É o pensamento de seu próprio tempo determinado pelas descobertas dentro dos diferentes modos de pensar.

Em suma, vimos como a filosofia de Badiou pensa o seu tempo ao nos dar o sentido de uma importante descoberta dentro da ciência: a vocação da matemática para pensar o Ser como o puro múltiplo.