Quais são os inversos, contrapositivos e inversos?

Corbis/VCG via Getty Images / Getty Images

Declarações condicionais aparecem em todos os lugares. Em matemática ou em qualquer outro lugar, não demora muito para encontrar algo da forma Se P então Q . Declarações condicionais são realmente importantes. O que também é importante são as declarações que estão relacionadas à declaração condicional original, alterando a posição de P , Q e a negação de uma afirmação. Começando com uma declaração original, terminamos com três novas declarações condicionais que são chamadas de inversa, contrapositiva e inverso .

Negação

Antes de definirmos a recíproca, a contrapositiva e a inversa de uma declaração condicional, precisamos examinar o tópico da negação. Cada declaração em lógica é verdadeiro ou falso. A negação de uma declaração envolve simplesmente a inserção da palavra não na parte apropriada da declaração. A adição da palavra not é feita para alterar o status de verdade da afirmação.

Ajudará a olhar para um exemplo. A declaração O triângulo retângulo é equilátero tem negação O triângulo retângulo não é equilátero. A negação de 10 é um número par é a afirmação 10 não é um número par. Claro, para este último exemplo, poderíamos usar a definição de um número ímpar e, em vez disso, dizer que 10 é um número ímpar. Notamos que a verdade de uma afirmação é o oposto daquela da negação.

Examinaremos essa ideia em um cenário mais abstrato. Quando a declaração P é verdadeira, a afirmação não P é falso. Da mesma forma, se P é falso, sua negação não P é verdade. As negações são comumente indicadas com um til ~. Então, em vez de escrever não P podemos escrever ~ P .

Inversa, Contrapositiva e Inversa

Agora podemos definir a recíproca, a contrapositiva e a inversa de um enunciado condicional. Começamos com a declaração condicional Se P então Q .

• A recíproca da declaração condicional é Se Q então P .
• A contrapositiva da declaração condicional é Se não Q Então não P .
• O inverso da instrução condicional é Se não P Então não Q .

Veremos como essas declarações funcionam com um exemplo. Suponha que comecemos com a declaração condicional Se choveu ontem à noite, então a calçada está molhada.

• O inverso da declaração condicional é Se a calçada está molhada, então choveu ontem à noite.
• A contrapositiva da declaração condicional é Se a calçada não está molhada, então não choveu ontem à noite.
• O inverso da declaração condicional é Se não choveu ontem à noite, então a calçada não está molhada.

Equivalência lógica

Podemos nos perguntar por que é importante formar essas outras declarações condicionais a partir da inicial. Um olhar cuidadoso no exemplo acima revela algo. Suponha que a afirmação original Se choveu ontem à noite, então a calçada está molhada seja verdadeira. Quais das outras afirmações também devem ser verdadeiras?

• O inverso Se a calçada está molhada, então choveu na noite passada não é necessariamente verdade. A calçada pode estar molhada por outros motivos.
• O inverso Se não choveu ontem à noite, então a calçada não está molhada não é necessariamente verdade. Novamente, só porque não choveu não significa que a calçada não esteja molhada.
• A contrapositiva Se a calçada não está molhada, então não choveu ontem à noite é uma afirmação verdadeira.

O que vemos neste exemplo (e o que pode ser provado matematicamente) é que uma afirmação condicional tem o mesmo valor de verdade que sua contrapositiva. Dizemos que essas duas afirmações são logicamente equivalentes. Também vemos que uma declaração condicional não é logicamente equivalente à sua inversa e inversa.

Como uma declaração condicional e sua contrapositiva são logicamente equivalentes, podemos usar isso a nosso favor quando estivermos provando teoremas matemáticos. Em vez de provar a verdade de uma declaração condicional diretamente, podemos usar a estratégia de prova indireta de provar a verdade da contrapositiva dessa declaração. As provas contrapositivas funcionam porque se a contrapositiva for verdadeira, devido à equivalência lógica, a declaração condicional original também é verdadeira.

Acontece que mesmo que o inversa e inversa não são logicamente equivalentes à declaração condicional original , eles são logicamente equivalentes entre si. Há uma explicação fácil para isso. Começamos com a declaração condicional Se Q então P . A contrapositiva desta afirmação é Se não P Então não Q . Como a inversa é a contrapositiva da recíproca, a recíproca e a inversa são logicamente equivalentes.