Como usar 'se e somente se' em matemática

Courtney Taylor

Ao ler sobre estatística e matemática, uma frase que aparece regularmente é se e somente se. Esta frase aparece particularmente em declarações de teoremas matemáticos ou provas. Mas o que, exatamente, essa afirmação significa?

O que significa se e somente se em matemática?

Para entender se e somente se, devemos primeiro saber o que se entende por uma declaração condicional. Um enunciado condicional é aquele que é formado a partir de dois outros enunciados, que denotaremos por P e Q. Para formar um enunciado condicional, poderíamos dizer se P então Q.

Seguem exemplos desse tipo de declaração:

• Se estiver chovendo lá fora, levo meu guarda-chuva comigo na caminhada.
• Se você estudar muito, então você ganhará um A.
• Se n é divisível por 4, então n é divisível por 2.

Converse e condicionais

Três outras declarações estão relacionadas a qualquer declaração condicional. Estes são chamados de inversa, inversa e contrapositiva . Formamos essas declarações alterando a ordem de P e Q da condicional original e inserindo a palavra não para a inversa e contrapositiva.

Só precisamos considerar a recíproca aqui. Esta afirmação é obtida do original dizendo se Q então P. Suponha que comecemos com a condicional se está chovendo lá fora, então eu levo meu guarda-chuva comigo na minha caminhada. O inverso desta afirmação é se eu levar meu guarda-chuva comigo na minha caminhada, então está chovendo lá fora.

Precisamos apenas considerar este exemplo para perceber que a condicional original não é logicamente a mesma que sua recíproca. A confusão dessas duas formas de declaração é conhecida como erro de conversa . Pode-se levar um guarda-chuva para passear, mesmo que não esteja chovendo lá fora.

Para outro exemplo, consideramos a condicional Se um número é divisível por 4, então é divisível por 2. Esta afirmação é claramente verdadeira. No entanto, a recíproca desta afirmação Se um número é divisível por 2, então é divisível por 4 é falso. Só precisamos olhar para um número como 6. Embora 2 divida esse número, 4 não. Embora a afirmação original seja verdadeira, sua recíproca não é.

Bicondicional

Isso nos leva a uma declaração bicondicional, que também é conhecida como declaração 'se e somente se'. Certas declarações condicionais também têm conversas que são verdadeiras. Neste caso, podemos formar o que é conhecido como uma declaração bicondicional. Uma declaração bicondicional tem a forma:

Se P então Q, e se Q então P.

Desde este construção é um pouco estranho, especialmente quando P e Q são suas próprias declarações lógicas, simplificamos a declaração de uma bicondicional usando a frase 'se e somente se'. Ao invés de dizer 'se P então Q, e se Q então P' nós dizemos 'P se e somente se Q.' Esta construção elimina alguma redundância.

Exemplo de Estatísticas

Para um exemplo da frase se e somente se isso envolve estatísticas, não procure mais do que um fato sobre o desvio padrão da amostra. O desvio padrão da amostra de um conjunto de dados é igual a zero se e somente se todos os valores de dados forem idênticos.

Quebramos essa declaração bicondicional em uma condicional e sua recíproca. Então vemos que esta declaração significa tanto o seguinte:

• Se o desvio padrão for zero, todos os valores de dados são idênticos.
• Se todos os valores de dados forem idênticos, o desvio padrão será igual a zero.

Prova de Bicondicional

Se estamos tentando provar uma bicondicional, na maioria das vezes acabamos dividindo-a. Isso faz com que nossa prova tenha duas partes. Uma parte que provamos é se P então Q. A outra parte da prova que precisamos é se Q então P.

Condições Necessárias e Suficientes

As declarações bicondicionais estão relacionadas a condições que são necessárias e suficientes. Considere a afirmação se hoje é Páscoa , então amanhã é segunda-feira. Hoje sendo Páscoa é suficiente para amanhã ser segunda-feira, porém, não é necessário. Hoje poderia ser qualquer domingo que não fosse a Páscoa, e amanhã ainda seria segunda-feira.

Abreviação

A frase se e somente se é usada com bastante frequência na escrita matemática para que tenha sua própria abreviação. Às vezes, a bicondicional na declaração da frase se e somente se é encurtada para simplesmente se. Assim, a afirmação P se e somente se Q se torna P se Q.