O que é a interseção de dois conjuntos?

Teoria de conjuntos

A região sombreada representa a interseção dos dois conjuntos A e B. C.K.Taylor

Ao lidar com teoria de conjuntos , há uma série de operações para fazer novos conjuntos a partir dos antigos. Uma das operações de conjunto mais comuns é chamada de interseção. Simplificando, a interseção de dois conjuntos UMA e B é o conjunto de todos os elementos que ambos UMA e B tem em comum.

Veremos detalhes sobre a interseção na teoria dos conjuntos. Como veremos, a palavra-chave aqui é a palavra 'e'.

Um exemplo

Para um exemplo de como a interseção de dois conjuntos forma um novo conjunto , vamos considerar os conjuntos UMA = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Para encontrar a interseção desses dois conjuntos, precisamos descobrir quais elementos eles têm em comum. Os números 3, 4, 5 são elementos de ambos os conjuntos, portanto, as interseções de UMA e B é {3. 4. 5].

Notação para Interseção

Além de entender os conceitos relativos às operações da teoria dos conjuntos, é importante ser capaz de ler os símbolos usados ​​para denotar essas operações. O símbolo de interseção às vezes é substituído pela palavra e entre dois conjuntos. Esta palavra sugere a notação mais compacta para uma interseção que é normalmente usada.

O símbolo usado para a interseção dos dois conjuntos UMA e B É dado por UMA ∩ B . Uma maneira de lembrar que este símbolo ∩ se refere à interseção é notar sua semelhança com um A maiúsculo, que é a abreviação da palavra 'e'.

Para ver essa notação em ação, consulte o exemplo acima. Aqui tínhamos os conjuntos UMA = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Então, escreveríamos a equação do conjunto UMA ∩ B = {3, 4, 5}.

Intersecção com o conjunto vazio

Uma identidade básica que envolve a interseção nos mostra o que acontece quando tomamos a interseção de qualquer conjunto com o conjunto vazio, denotado por #8709. O conjunto vazio é o conjunto sem elementos. Se não houver elementos em pelo menos um dos conjuntos dos quais estamos tentando encontrar a interseção, então os dois conjuntos não têm elementos em comum. Em outras palavras, a interseção de qualquer conjunto com o conjunto vazio nos dará o conjunto vazio.

Essa identidade se torna ainda mais compacta com o uso de nossa notação. Temos a identidade: UMA ∩ ∅ = ∅.

Intersecção com o Conjunto Universal

Para o outro extremo, o que acontece quando examinamos a interseção de um conjunto com o conjunto universal? Semelhante a como a palavra universo é usado em astronomia para significar tudo, o conjunto universal contém todos os elementos. Segue-se que todo elemento do nosso conjunto é também um elemento do conjunto universal. Assim, a interseção de qualquer conjunto com o conjunto universal é o conjunto com o qual começamos.

Novamente nossa notação vem em socorro para expressar essa identidade de forma mais sucinta. Para qualquer conjunto UMA e o conjunto universal DENTRO , UMA ∩ DENTRO = UMA .

Outras identidades que envolvem a interseção

Existem muitas outras equações de conjunto que envolvem o uso da operação de interseção. Claro que é sempre bom prática usando a linguagem da teoria dos conjuntos. Para todos os conjuntos UMA , e B e D temos:

• Propriedade reflexiva: UMA ∩ UMA = UMA
• Propriedade comutativa: UMA ∩ B = B ∩ UMA
• Propriedade associativa : ( UMA ∩ B ) ∩ D = UMA ∩ ( B ∩ D )
• Propriedade distributiva: ( UMA ∪ B ) ∩ D = ( UMA ∩ D )∪ ( B ∩ D )
• Lei de DeMorgan I: ( UMA ∩ B )^C= UMA ^C∪ B ^C
• Lei de DeMorgan II: ( UMA ∪ B )^C= UMA ^C∩ B ^C