O que é uma linha de mínimos quadrados?
Conheça a linha de melhor ajuste
Sewaqu/Wikimedia Commons/Domínio Público
Um gráfico de dispersão é um tipo de gráfico que é usado para representarO padrão mais básico a ser procurado em um conjunto de dados pareados é o de uma linha reta. Por quaisquer dois pontos, podemos traçar uma linha reta. Se houver mais de dois pontos em nosso gráfico de dispersão, na maioria das vezes não poderemos mais traçar uma linha que passe por todos os pontos. Em vez disso, desenharemos uma linha que passa pelo meio dos pontos e exibe a tendência linear geral dos dados.
Quando olhamos para os pontos em nosso gráfico e desejamos traçar uma linha através desses pontos, surge uma pergunta. Qual linha devemos traçar? Há um número infinito de linhas que podem ser desenhadas. Usando apenas nossos olhos, fica claro que cada pessoa olhando para o gráfico de dispersão poderia produzir uma linha ligeiramente diferente. Essa ambiguidade é um problema. Queremos ter uma forma bem definida para que todos obtenham a mesma linha. O objetivo é ter uma descrição matematicamente precisa de qual linha deve ser desenhada. Os mínimos quadrados linha de regressãoé uma dessas linhas através de nossos pontos de dados.
Mínimos Quadrados
O nome da linha de mínimos quadrados explica o que ela faz. Começamos com uma coleção de pontos com coordenadas dadas por ( xeu , Seu ). Qualquer linha reta passará entre esses pontos e ficará acima ou abaixo de cada um deles. Podemos calcular as distâncias desses pontos até a linha escolhendo um valor de x e, em seguida, subtraindo o observado S coordenada que corresponde a esta x de S coordenada da nossa linha.
Linhas diferentes através do mesmo conjunto de pontos dariam um conjunto diferente de distâncias. Queremos que essas distâncias sejam tão pequenas quanto podemos fazê-las. Mas há um problema. Como nossas distâncias podem ser positivas ou negativas, a soma total de todas essas distâncias se cancelará. A soma das distâncias será sempre igual a zero.
A solução para este problema é eliminar todos os números negativos elevando ao quadrado as distâncias entre os pontos e a linha. Isso dá uma coleção de números não negativos. O objetivo que tínhamos de encontrar uma linha de melhor ajuste é o mesmo que tornar a soma dessas distâncias quadradas a menor possível. O cálculo vem em socorro aqui. O processo de diferenciação no cálculo permite minimizar a soma dos quadrados das distâncias a partir de uma dada reta. Isso explica a frase mínimos quadrados em nosso nome para esta linha.
Linha de melhor ajuste
Como a linha de mínimos quadrados minimiza as distâncias quadradas entre a linha e nossos pontos, podemos pensar nessa linha como a que melhor se ajusta aos nossos dados. É por isso que a linha de mínimos quadrados também é conhecida como a linha de melhor ajuste. De todas as linhas possíveis que podem ser desenhadas, a linha de mínimos quadrados é a mais próxima do conjunto de dados como um todo. Isso pode significar que nossa linha não atingirá nenhum dos pontos em nosso conjunto de dados.
Características da Linha dos Mínimos Quadrados
Existem alguns recursos que cada linha de mínimos quadrados possui. O primeiro item de interesse trata da inclinação da nossa linha. O declive tem ligação com o coeficiente de correlação dos nossos dados. De fato, a inclinação da linha é igual a r(s)S/sx) . Aqui sx denota o desvio padrão da x coordenadas e sS o desvio padrão do S coordenadas dos nossos dados. O sinal do coeficiente de correlação está diretamente relacionado ao sinal da inclinação da nossa linha de mínimos quadrados.
Outra característica da linha de mínimos quadrados diz respeito a um ponto pelo qual ela passa. Enquanto o S interceptação de uma linha de mínimos quadrados pode não ser interessante do ponto de vista estatístico, há um ponto que é. Cada linha de mínimos quadrados passa pelo ponto médio dos dados. Este ponto médio tem x coordenada que é a significa do x valores e um S coordenada que é a média da S valores.