Propriedades matemáticas das ondas

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Ondas físicas, ou ondas mecânicas , se formam através da vibração de um meio, seja uma corda, a crosta terrestre, ou partículas de gases e fluidos. As ondas têm propriedades matemáticas que podem ser analisadas para entender o movimento da onda. Este artigo apresenta essas propriedades gerais das ondas, em vez de como aplicá-las em situações específicas da física.

Ondas Transversais e Longitudinais

Existem dois tipos de ondas mecânicas.

A é tal que os deslocamentos do meio são perpendiculares (transversais) à direção de propagação da onda ao longo do meio. Vibrar uma corda em movimento periódico, de modo que as ondas se movam ao longo dela, é uma onda transversal, assim como as ondas no oceano.

UMA onda longitudinal é tal que os deslocamentos do meio são para frente e para trás ao longo da mesma direção que a própria onda. As ondas sonoras, onde as partículas de ar são empurradas na direção do deslocamento, são um exemplo de onda longitudinal.

Embora as ondas discutidas neste artigo se refiram a viagens em um meio, a matemática introduzida aqui pode ser usada para analisar propriedades de ondas não mecânicas. A radiação eletromagnética, por exemplo, é capaz de viajar pelo espaço vazio, mas ainda tem as mesmas propriedades matemáticas de outras ondas. Por exemplo, o Efeito Doppler para ondas sonoras é bem conhecido, mas existe um Efeito Doppler para ondas de luz , e eles são baseados nos mesmos princípios matemáticos.

O que causa as ondas?

1. As ondas podem ser vistas como uma perturbação no meio em torno de um estado de equilíbrio, que geralmente está em repouso. A energia desta perturbação é o que causa o movimento da onda. Uma poça de água está em equilíbrio quando não há ondas, mas assim que uma pedra é jogada nela, o equilíbrio das partículas é perturbado e o movimento das ondas começa.
2. A perturbação das viagens das ondas, ou propaga , com uma velocidade definida, chamada de velocidade da onda ( dentro ).
3. As ondas transportam energia, mas não matéria. O meio em si não viaja; as partículas individuais sofrem movimento para frente e para trás ou para cima e para baixo em torno da posição de equilíbrio.

A função de onda

Para descrever matematicamente o movimento das ondas, nos referimos ao conceito de função de onda , que descreve a posição de uma partícula no meio a qualquer momento. A mais básica das funções de onda é a onda senoidal, ou onda senoidal, que é uma onda periódica (ou seja, uma onda com movimento repetitivo).

É importante notar que a função de onda não representa a onda física, mas sim um gráfico do deslocamento em torno da posição de equilíbrio. Este pode ser um conceito confuso, mas o útil é que podemos usar uma onda senoidal para representar a maioria dos movimentos periódicos, como mover-se em um círculo ou balançar um pêndulo, que não necessariamente parecem ondas quando você vê o movimento real. movimento.

Propriedades da Função de Onda

velocidade da onda( dentro ) - a velocidade de propagação da onda amplitude( UMA ) - a magnitude máxima do deslocamento do equilíbrio, em unidades SI de metros. Em geral, é a distância do ponto médio de equilíbrio da onda ao seu deslocamento máximo, ou seja, metade do deslocamento total da onda. período( T ) - é o tempo para um ciclo de onda (dois pulsos, ou de crista a crista ou vale a vale), em unidades SI de segundos (embora possa ser referido como 'segundos por ciclo'). frequência( f ) - o número de ciclos em uma unidade de tempo. A unidade de frequência do SI é o hertz (Hz) e

1 Hz = 1 ciclo/s = 1 s^-1

frequência angular( oh ) - é 2 Pi vezes a frequência, em unidades SI de radianos por segundo.
• Comprimento de onda ( eu ) - a distância entre quaisquer dois pontos em posições correspondentes em sucessivas repetições na onda, então (por exemplo) de uma crista ou vale para a próxima, em unidades SI de metros.
número de onda( k ) - também chamado de constante de propagação , esta quantidade útil é definida como 2 Pi dividido pelo comprimento de onda, de modo que as unidades do SI são radianos por metro. pulso- um meio comprimento de onda, do equilíbrio de volta

Algumas equações úteis na definição das quantidades acima são:

dentro = eu / T = l f

oh = 2 pf = 2 Pi / T

T = 1 / f = 2 Pi / oh

k = 2 Pi / oh

oh = vk

A posição vertical de um ponto na onda, S , pode ser encontrado em função da posição horizontal, x , e o tempo, t , quando olhamos para ele. Agradecemos aos gentis matemáticos por fazerem este trabalho para nós e obtivemos as seguintes equações úteis para descrever o movimento das ondas:

S ( x, t ) = UMA sem oh ( t - x / dentro ) = UMA sem 2 pf ( t - x / dentro )

S ( x, t ) = UMA sem 2 Pi ( t / T - x / dentro )

S( x, t ) = UMA sem ( oh t - kx )

A equação da onda

Uma característica final da função de onda é que a aplicação cálculo para tomar a segunda derivada produz o equação de onda , que é um produto intrigante e às vezes útil (que, mais uma vez, vamos agradecer aos matemáticos e aceitar sem provar):

d ^dois S / dx ^dois= (1 / dentro ^dois) d ^dois S / dt ^dois

A segunda derivada de S em relação a x é equivalente à segunda derivada de S em relação a t dividido pela velocidade da onda ao quadrado. A principal utilidade desta equação é que sempre que ocorre, sabemos que a função S atua como uma onda com velocidade de onda dentro e, portanto, a situação pode ser descrita usando a função de onda .